证明：先特殊化一下P点的位置，看下定值为多少。假设P点为AB上的切点，设内切圆半径为r，易得PC=3r，PA=PB=√3r那么PA²+PB²+PC²=15r²

连接PA及AO、BO、CO，设∠POB=α，则∠POA=120°-α，∠POC=120°+α，根据正弦定义：AO=BO=CO=2r，所以AO²=BO²=CO²=4r²。根据余弦定理PB²=BO²+PO²-2BO·POcosα代入数值得：PB²=5r²-2r²cosα。

同理可得：PA²=5r²-2r²cos(120°-α)，同理：PC²=5r²-2r²cos(120°+α)。

cos(120°-α)=cos120°cosα+sin120°sinα

=√3sinα/2-cosα/2

cos(120°+α)=cos120°cosα-sin120°sinα

=-√3sinα/2-cosα/2

所以PA²+PB²+PC²=15r²。(计算过程不再赘述，三角函数项可以互相抵消)